Question

【題目】凸多面體的每個面均為三角形，每條棱上均標記字母之一，且每個面的三條邊上恰各有一個。對每一個面，當旋轉多面體使該面在我們眼前時，按照字母順序觀察其三邊，若是逆時針方向，則稱其為正面；否則，稱其為反面。證明：正面與反面的數目之差能被4整除。

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

考慮標記的棱，將其中點染紅，于是，得到若干個紅點.任取一條含紅點的棱，有兩個面以其為一條邊（如圖），取一個面（右），該面另兩條邊有一條標記.

考慮以棱為邊的另一個面，該面又一條棱含紅點，用虛線聯結這兩個紅點，再取另一面（左），也會有另一個紅點與點相連.于是，任一紅點均連出兩條線與別的紅點相連.從而，形成若干個以紅點為頂點的圈.

再考慮棱，也會得到若干以藍點（藍點為棱的中點）為頂點的圈.

由于紅圈、籃圈的邊均要穿過一條棱，將棱根據其被穿過的情形分為如圖所示的三種類型：

其中，圖（丙）的兩個紅點同上或同下，連線時讓它們不相交；而圖中（甲）、（乙）連線時相交，且其交點不是現有的紅點或藍點.

設三種類型的數目分別為.則正面數目為，反面數目為，且為紅圈與籃圈的交點數.

因為圈與圈的交點數為偶數，所以，.

故正面數與反面數之差能被4整除.