Question

已知數列的前項和為，且，對任意，都有.
（1）求數列的通項公式；
（2）若數列滿足，求數列的前項和.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）解法1是在的條件下，由得到，將兩式相減得，經化簡得，從而得出數列為等差數列，然后利用等差數列的通項公式求出數列的通項公式；解法2是利用代入遞推式得到，經過化簡得到，在兩邊同時除以得到，從而得到數列為等差數列，先求出數列的通項公式，進而求出的表達式，然后利用與之間的關系求出數列的通項公式；（2）解法1是在（1）的前提下求出數列的通項公式，然后利用錯位相減法求數列的和；解法2是利用導數以及函數和的導數運算法則，將數列的前項和視為函數列的前項和在處的導數值，從而求出.
試題解析：（1）解法1：當時，，，
兩式相減得，
即，得.當時，，即.
數列是以為首項，公差為的等差數列..
解法2：由，得，
整理得，，兩邊同除以得，.
數列是以為首項，公差為的等差數列...
當時，.
又適合上式，數列的通項公式為；
（2）解法1：由（1）得.
，.
，①
，②
①②得.
.
解法2：由（1）得.，.
，①
由，
兩邊對取導數得，.
令，得.
.