Question

【題目】已知兩個函數，

（Ⅰ）當時，求在區間上的最大值；

（Ⅱ）求證：對任意，不等式都成立．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）分類討論，詳見解析；（Ⅱ）證明見解析．

【解析】

（Ⅰ）利用導數得出在區間上為減函數，在區間上為增函數，然后分和兩種情況討論

（Ⅱ）求出的最小值和的最大值，將問題轉化為兩函數最值之間大小關系的判斷即可.

（Ⅰ）由得：

∴當時，，當時，

∴在區間上為減函數，在區間上為增函數

①當時，在區間上為增函數，

的最大值為

②當時，

在區間上為減函數，在區間上為增函數

∴的最大值為

下面比較與大小

∵

∴當時，，

故在區間上的最大值為

當時，，

在區間上的最大值為

綜上可知：當時，在區間上的最大值為

當時，在區間上的最大值為

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，當時，在區間上為減函數，在區間上為增函數

所以當時，

又由得：

∴當時，，當時，

∴在區間上為增函數，在區間上為減函數

所以當時，

綜上可知，當時，不等式恒成立．