Question

【題目】某企業為了檢查甲、乙兩條自動包裝流水線的生產情況，隨機在這兩條流水線上各抽取100件產品作為樣本稱出它們的質量（單位：毫克），質量值落在的產品為合格品，否則為不合格品．如表是甲流水線樣本頻數分布表，如圖是乙流水線樣本的頻率分布直方圖．

產品質量/毫克	頻數
（165，175]	3
（175，185]	2
（185，195]	21
（195，205]	36
（205，215]	24
（215，225]	9
（225，235]	5

（Ⅰ）根據乙流水線樣本的頻率分布直方圖，求乙流水線樣本質量的中位數（結果保留整數）；

（Ⅱ）從甲流水線樣本中質量在的產品中任取2件產品，求兩件產品中恰有一件合格品的概率；

	甲流水線	乙流水線	總計
合格品
不合格品
總計

（Ⅲ）由以上統計數據完成下面2×2列聯表，能否在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下認為產品的包裝合格與兩條自動包裝流水線的選擇有關？

下面臨界值表僅供參考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

參考公式：，其中n＝a+b+c+d．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）不能在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下，認為產品的包裝合格與兩條自動包裝流水線的選擇有關．

【解析】

（Ⅰ）求出前三組的頻率之和及前四組的頻率之和，則可判斷中位數在第四組，設其大小為，由解得；

（Ⅱ）甲流水線樣本中質量在的產品共有5件，其中合格品有2件，設為；不合格品3件，設為，再利用列舉法以及古典概型概率公式可得；

（Ⅲ）先得列聯表，再根據表中數據，計算出觀測值，結合臨界值表可得．

（Ⅰ）因為前三組的頻率之和

前四組的頻率之和

所以中位數在第四組，設為

由，解得．

（Ⅱ）甲流水線樣本中質量在的產品共有5件，其中合格品有2件，設為；不合格品3件，設為

從中任取2件的所有取法有，共10種，

恰有一件合格品的取法有共6種，

所以兩件產品中恰有一件合格品的概率為．

（Ⅲ）由乙流水線樣本的頻率分布直方圖可知，合格品的個數為，

	甲流水線	乙流水線	總計
合格品	92	96	188
不合格品	8	4	12
總計	100	100	200

所以，2×2列聯表是：

所以

不能在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下，認為產品的包裝合格與兩條自動包裝流水線的選擇有關．