Question

【題目】對于集合，，，，定義.

集合中的元素個數記為，當，稱集合具有性質.

（1）已知集合，，寫出，的值，并判斷集合是否具有性質；

（2）設集合具有性質，判斷集合中的三個元素是否能組成等差數列，請說明理由；

（3）若數列是以為首項，2為公比的等比數列. 數列中的前100項：組成的集合記作，將集合中的所有元素從小到大排序，即滿足，求.

Answer 1

【答案】（1）集合不具有性質；（2）中的三個元素不能構成等差數列，見解析；（3）2816

【解析】

(1)根據定義分別計算和,再判斷集合是否具有性質即可.

(2)根據集合具有性質可知中的元素應是：這6個元素應該互不相等. 再根據等差數列的性質判定矛盾即可.

(3)易得,進而可得,再根據指數的運算可推導出當時,,且,進而將集合中的所有元素進行排序,再求即可.

（1）因為,,所以根據題目中的定義可知,,

所以,,

又,而,所以集合不具有性質.

（2）集合中的三個元素不能組成等差數列,理由如下：因為集合具有性質,所以,

由題中所給的定義可知：中的元素應是：這6個元素應該互不相等.

假設中的三個元素能構成等差數列,

若為等差中項,則,而均為其中的元素,這與集合中的6個元素互不相等矛盾；

若或為等差中項,同理,矛盾.

故中的三個元素不能構成等差數列.

（3）因為數列是以為首項,2為公比的等比數列,所以.

則,因為是單調遞增數列,

若,即,即,則,

又,所當時,,且.

故根據定義將集合中的所有元素從小到大排序為：

所以小于等于的元素個數為：,

當時,即小于等于的數共有91個數,顯然不到100個數,所以第100個數為.

因此.