Question

求由直線x＝0，x＝1，y＝0和曲線y＝x(x－1)圍成的圖形面積．

 

Answer 1

【解析】(1)化整為零，插入等分點．

將曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，用分點

，，…，把區間[0,1]等分成n個小區間，，…，，…，.簡寫作： (i＝1,2，…，n)．

每個小區間的長度為Δx＝－＝.

過各分點作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，它們的面積分別記作：

ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.

(2)以直代曲，估計誤差．

用小矩形面積近似代替小曲邊梯形面積．

在小區間上任取一點xi(i＝1,2，…，n)，

為了計算方便，取xi為小區間的左端點，用xi對應的函數值f(xi)＝為一邊，以小區間長度Δx＝為鄰邊的小矩形面積近似代替第i個小曲邊梯形面積，可以近似地表示為：ΔSi≈f(xi)·Δx＝·(i＝1,2，…，n)．

(3)積零成整，精益求精．

因為每一個小矩形的面積都可以作為相應的小曲邊梯形面積的近似值，所以n個小矩形面積的和，就是曲邊梯形面積S的近似值．即：

S＝i≈ (xi)Δx＝＝－.①

當分點數目越多，即Δx越小時，和式①的值就越接近曲邊梯形的面積S.因此，當n趨于＋∞時，即Δx趨于0時，和式①的極限值就是所求曲邊梯形的面積．

Δx趨于0時，S趨于－(負號表示圖象在x軸下方)．所以，由直線x＝0，x＝1，y＝0和曲線y＝x(x－1)圍成的圖形的面積是.