Question

【題目】如圖，某幾何體中，四邊形是邊長為的正方形， 是直角梯形， 是直角， ， 是以為直角頂點的等腰直角三角形， .

（1）求證：平面平面；

（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析： 因為， ，可證平面，從而證明平面平面； 由得到，又因為四邊形為正方形，所以又，以為原點， ， ， 所在直線分別為軸， 軸， 軸，建立空間直角坐標系，求出平面與平面的法向量，將求二面角問題轉化為求兩向量夾角。

解析：（1）因為， ， ， 平面，

所以平面，

又平面，

所以平面平面.

（2）因為平面平面，平面平面，

， 平面，

所以平面.又平面，故.

而四邊形為正方形，所以又，

以為原點， ， ， 所在直線分別為軸， 軸， 軸，建立空間直角坐標系.

依題意易知： ， ， ， ， ，

設平面的一個法向量為，

則，即，令，則，所以.

設平面的一個法向量為，

則，即，令，則，所以.

設平面與平面所成的銳二面角的平面角為，

則.