Question

【題目】設點，的坐標分別為，，直線和相交于點，且和的斜率之差是1.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）過軌跡上的點，，作圓：的兩條切線，分別交軸于點，.當的面積最小時，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設出點坐標，根據和的斜率之差是列方程，化簡后求得點的軌跡的方程.注意排除斜率不存在的情況.

（2）設出切線的斜率，由點斜式寫出切線方程，利用圓心到切線的距離為列方程，化簡后寫出關于切線、的斜率，的根與系數關系，求得兩點的坐標，進而求得的面積的表達式，化簡后利用基本不等式求得的面積的最小值以及此時對應的值.

（1）設，由題意得.

化簡得點的軌跡的方程為：.

（2）由點所引的切線方程必存在斜率，設為.

則切線方程為，即.

其與軸的交點為，

而圓心到切線的距離，

整理得：①，

切線、的斜率分別為，，則，是方程①的兩根，

故，

而切線與軸的交點為，故，，

又，，

∴

，

將代入得

，

而點在上，故，

∴

，

當且僅當，即時等號成立.

又，∴，

故當點坐標為，時，.