Question

【題目】已知二次函數f（x）=ax2+1（x∈R）的圖象過點A（﹣1，3）．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）證明f（x）在（﹣∞，0）上是減函數．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵二次函數f（x）=ax2+1（x∈R）的圖象過點A（﹣1，3），

∴a+1=3，∴a=2，

∴函數的解析式為f（x）=2x2+1

（Ⅱ）證明：∵f（x）=2x2+1，

∴f′（x）=4x，

∵x＜0，∴f′（x）=4x＜0，

∴函數f（x）在（﹣∞，0）上是減函數

【解析】（1）由于圖象過點A，代入可得a的值，得到解析式，（2）求導可判斷出f（x）在（﹣∞，0）上是減函數.
【考點精析】通過靈活運用二次函數的性質，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．