Question

【題目】設函數f(x)＝emx＋x2－mx.

(1)證明：f(x)在(－∞，0)上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增；

(2)若對于任意x1，x2∈[－1,1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) 見解析(2) [－1,1]．

【解析】試題分析：（1）利用說明函數為增函數，利用說明函數為減函數，要注意參數的討論；（2）由（1）知，對任意的， 在單調遞減，在單調遞增，則恒成立問題轉化為最大值和最小值問題．從而求得的取值范圍．

試題解析：(1)證明：∵

∴.

若，則當時， ， ，

當時， ，

若，則當時， ，

當時， ，

∴函數在上單調遞減，在上單調遞增．

(2)由(1)知，對任意的， 在上單調遞減，在上單調遞增，故在處取得最小值．所以對于任意， 的充要條件是即①

設函數，則

當時， ；當時，

∴在上單調遞減，在上單調遞增．

又∵，

∴當時，

當時， ， ，即①式成立；

當時， ，即；

當時， ，即

綜上， 的取值范圍是．