Question

求的最小正周期、單調區間、最值及取得最值時對應的x的集合．

Answer 1

【答案】分析：利用兩角和與差的正弦函數將y=cosx+sinx轉化為y=sin（x+），利用正弦函數的性質即可求得其最小正周、單調區間、最值及取得最值時對應的x的集合．
解答：解：∵y=cosx+sinx=sin（x+），
∴其最小正周期T=2π；
由2kπ-≤x+≤2kπ+，k∈Z得2kπ-≤x≤2kπ+，k∈Z，
∴y=cosx+sinx的單調遞增區間為[2kπ-，2kπ+]，k∈Z．
同理可得y=cosx+sinx的單調遞減區間為[2kπ+，2kπ+]，k∈Z．
由x+=2kπ+，k∈Z得x=2kπ+，即當x=2kπ+時，y=cosx+sinx取得最大值1；
x+=2kπ-，k∈Z得x=2kπ-，即當x=2kπ-時，y=cosx+sinx取得最小值-1；
∴y=cosx+sinx取得最大值時，相應的x的集合為{x|x=2kπ+，k∈Z}；
y=cosx+sinx取得最小值時，相應的x的集合為{x|x=2kπ-，k∈Z}．
點評：本題考查兩角和與差的正弦，著重考查正弦函數的最小正周期、單調區間、最值，屬于中檔題．