Question

【題目】已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，證明：
（Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4；
（Ⅱ）a+b≤2．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（ + ）2=（a3+b3）2≥4，
當且僅當 = ，即a=b=1時取等號，
（Ⅱ）∵a3+b3=2，
∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，
∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，
∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，
∴ =ab，
由均值不等式可得： =ab≤（ ）2 ，
∴（a+b）3﹣2≤ ，
∴ （a+b）3≤2，
∴a+b≤2，當且僅當a=b=1時等號成立．
【解析】（Ⅰ）由柯西不等式即可證明，
（Ⅱ）由a3+b3=2轉化為 =ab，再由均值不等式可得： =ab≤（ ）2 ， 即可得到 （a+b）3≤2，問題得以證明．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解基本不等式的相關知識，掌握基本不等式：,（當且僅當時取到等號）；變形公式：，以及對不等式的證明的理解，了解不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等．