Question

【題目】平面直角坐標系中，過橢圓： （）焦點的直線交于兩點， 為的中點，且的斜率為9.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）是的左、右頂點， 是上的兩點，若，求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】試題分析：

(1)由題意求得， ，所以的方程為.

(2)聯立直線與橢圓的方程，整理可得四邊形面積， 結合均值不等式的結論可得四邊形面積的最大值為．

試題解析：

（Ⅰ）設， ，則， ， ，

由此可得，因為， ， ，所以，

又由題意知， 的一個焦點為，故.因此， ，

所以的方程為.

（Ⅱ）由題意可設直線的斜率為，所以直線的方程為，

聯立方程組可得， ，所以有，進而可得，所以，

同理可計算出，

所以四邊形面積

，

設，令（），所以，此時，當且僅當時取得等號，

所以四邊形面積的最大值為.