已知函數
是定義在
上的奇函數，當
時，有
（其中
為自然對數的底，
）．
（1）求函數的解析式；
（2）設
，
，求證：當
時，
；
（3）試問：是否存在實數
，使得當
時，的最小值是3？如果存在，求出實數的值；如果不存在，請說明理由．
（1）
（2）構造函數利用函數的最小值大于另一個函數的最大值來證明成立。
（3）當
時，函數在區間
上的最小值是3
解析試題分析：解：（1）當時，
，
則
，
又是奇函數，
所以
，
因此，； 4分
（2）證明：令
，
當
時，注意到
，所以
5分
① 當
時，注意到
，有
； 6分
② 當
時，
， 7分
故函數
在
上是增函數，從而有
，
所以當時，有， 8分
又因為是偶函數，故當
時，同樣有
，即，
綜上所述，當時，有； 9分
（2）證法二：當時，
，
求導得
，令
得
， 5分
于是可得當
時，
；
時，
，
所以在處取得最大值
，所以
． 6分
又記
，當時，有
， 7分
求導得
，當時，
，
所以
在
上單調遞增，于是
，
所以，在在上總有
． 8分
注意到
和的偶函數性質，
所以當時，有（）； 9分
（3）當時，
，
求導得
，令得
， 10分
① 當
時，，在區間
學練快車道口算心算速算天天練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某企業生產A，B兩種產品，根據市場調查與預測，A產品的利潤與投資成正比，其關系如圖1；B產品的利潤與投資的算術平方根成正比，其關系如圖2(注：利潤和投資單位：萬元)．
(1)分別將A、B兩種產品的利潤表示為投資的函數關系式；
(2)已知該企業已籌集到18萬元資金，并將全部投入A，B兩種產品的生產．
①若平均投入生產兩種產品，可獲得多少利潤？
②問：如果你是廠長，怎樣分配這18萬元投資，才能使該企業獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元？
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖,一水渠的橫斷面是拋物線形，O是拋物線的頂點,口寬EF=4米，高3米建立適當的直角坐標系，求拋物線方程.
現將水渠橫斷面改造成等腰梯形ABCD，要求高度不變，只挖土，不填土，求梯形ABCD的下底AB多大時，所挖的土最少？ 
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在某服裝批發市場，某種品牌的時裝當季節將來臨時，價格呈上升趨勢，設這種時裝開始時定價為20元，并且每周（7天）漲價2元，從第6周開始保持30元的價格平穩銷售；從第12周開始，當季節即將過去時，平均每周減價2元，直到第16周周末，該服裝不再銷售。
⑴試建立銷售價y與周次x之間的函數關系式；
⑵若這種時裝每件進價Z與周次
次之間的關系為Z＝
,1≤≤16，且為整數，試問該服裝第幾周出售時，每件銷售利潤最大？最大利潤為多少？
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量y (單位：千克)與銷售價格
(單位：元/千克)滿足關系式y＝
＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a為常數．已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克．
（1）求a的值；
（2）若該商品的成品為3元/千克, 試確定銷售價格x的值, 使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（本題滿分12分）
為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒. 已知藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數關系式為
（a為常數），
如圖所示，根據圖中提供的信息，回答下列問題：
（Ⅰ）從藥物釋放開始，求每立方米空氣中的含藥量
y（毫克）與時間t（小時）之間的函數關系式?
（Ⅱ）據測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進教室，那從藥物釋放開始，至少需要經過多少小時后，學生才能回到教室.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（10分）為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒。已知藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數關系式為
，如圖所示。
（1）請寫出從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）之間的函數關系式；
（2）據測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進教室。那么，從藥物釋放開始，至少需要經過多少小時后，學生才能回到教室。
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的最大值為6.求
最小值. 
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