Question

【題目】已知圓的圓心坐標，直線：被圓截得弦長為。

（Ⅰ）求圓的方程；

（Ⅱ）從圓外一點向圓引切線，求切線方程。

Answer 1

【答案】（1）；（2）和.

【解析】試題分析： 設圓的半徑為，根據圓心坐標寫出圓的標準方程，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離即為弦心距，然后根據垂徑定理得到其垂足為弦的中點，由弦長的一半，圓心距及半徑構成的直角三角形，根據勾股定理列出關于的方程，求出方程的解即可得到的值，從而確定圓的方程；

當切線方程的斜率不存在時，顯然得到為圓的切線；

當切線方程的斜率存在時，設出切線的斜率為，由的坐標和寫出切線方程，利用點到直線的距離公式求出圓心到所設直線的距離，根據直線與圓相切，得到等于圓的半徑，列出關于的方程，求出方程的解即可得到的值，從而確定出切線的方程，綜上，得到所求圓的兩條切線方程。

解析：（Ⅰ）設圓的標準方程為：

圓心到直線的距離： ，

則

圓的標準方程：

（Ⅱ）①當切線斜率不存在時，設切線： ，此時滿足直線與圓相切。

②當切線斜率存在時，設切線： ，即

則圓心到直線的距離：

解得： ，即

則切線方程為：

綜上，切線方程為： 和