Question

【題目】過點P（2，0）的直線交拋物線y2=4x于A，B兩點，若拋物線的焦點為F，則△ABF面積的最小值為 ．

Answer 1

【答案】2
【解析】解：方法一：拋物線y2=4x焦點F（1，0）， 當直線l的斜率不存在時，此時將x=2代入拋物線C：y2=4x中，得y2=8，解得y=±2 ，
則點A，B的坐標為（2，2 ），（2，﹣2 ），
∴△ABF面積S= ×1×丨AB丨=2 ，
當直線的存在，且不為0，設直線AB：y=k（x﹣2）．
A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）（y1＞0，y2＜0），
聯立 ，消去y，得k2x2﹣（4k2+4）x+4k2=0，且△=32k2+16＞0，
則由韋達定理，x1+x2= ，x1x2=4，y1+y2= ，y1y2=﹣8，
∴△ABF面積S= ×丨PF丨×丨y1﹣y2丨= ×1× = × ＞2 ，
綜上可知：則△ABF面積的最小值2 ，
所以答案是：2 ．
方法二：拋物線y2=4x焦點F（1，0），
設直線AB：x=my+2，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）（y1＞0，y2＜0），
，整理得：y2﹣4my﹣8=0，則y1+y2=4m，y1y2=﹣8，
∴△ABF面積S= ×丨PF丨×丨y1﹣y2丨= ×1× ≥ ×4 =2 ，
當m=0時，取最小值，最小值為2 ，
∴△ABF面積的最小值2 ，
所以答案是：2 ．