Question

【題目】如圖，圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，點P是圓弧上的一動點（不與重合），點Q是圓弧的中點，且點在平面的兩側.

（1）證明：平面平面；

（2）設點P在平面上的射影為點O，點分別是和的重心，當三棱錐體積最大時，回答下列問題.

（i）證明：平面；

（ii）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（i）證明見解析（ii）

【解析】

（1）由，可得平面，即可證明；

（2）（i）連接并延長交于點M，連接并延長交于點N，連接，利用平行線分線段成比例可得，即可得得證；

（ii）根據即可求解.

（1）證明：因為是軸截面，

所以平面，所以，

又點P是圓弧上的一動點（不與重合），且為直徑，

所以，

又，平面，平面，

所以平面，平面，

故平面平面.

（2）當三棱錐體積最大時，點P為圓弧的中點.所以點O為圓弧的中點，

所以四邊形為正方形，且平面.

（i）證明：連接并延長交于點M，連接并延長交于點N，連接，

則，

因為分別為三角形的重心，所以，

所以，

所以，

又平面，平面，

所以平面.

（ii）因為平面，

所以，

又，，

所以平面，

因為，

所以平面，即平面，即是三棱錐的高.

又，，

所以.