Question

【題目】如圖，已知長方形ABCD中，AB=2 ，AD= ，M為DC的中點，將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM （Ⅰ）求證：AD⊥BM
（Ⅱ）若點E是線段DB上的一動點，問點E在何位置時，二面角E﹣AM﹣D的余弦值為 ．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵長方形ABCD中，AB=2 ，AD= ，M為DC的中點， ∴AM=BM=2，∴BM⊥AM．
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM平面ABCM
∴BM⊥平面ADM
∵AD平面ADM∴AD⊥BM；
（Ⅱ）建立如圖所示的直角坐標系，設 ，
則平面AMD的一個法向量 =（0，1，0）， = + =（1﹣λ，2λ，1﹣λ）， =（﹣2，0，0），
設平面AME的一個法向量為 =（x，y，z），則 ，
取y=1，得x=0，z= ，
則 =（0，1， ），
∵cos＜ ， ＞= = ，∴求得 ，
故E為BD的中點．

【解析】（Ⅰ）根據線面垂直的性質證明BM⊥平面ADM即可證明AD⊥BM（Ⅱ）建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法建立二面角的夾角關系，解方程即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識，掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點．