Question

【題目】已知橢圓:的四個頂點恰好是一邊長為2，一內角為的菱形的四個頂點.

(1)求橢圓的方程；

(2)若直線交橢圓于兩點，在直線上存在點,使得為等邊三角形,求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或．

【解析】

試題（1）求橢圓標準方程，要確定的值，題中已知四個頂點形成的菱形是確定的，而橢圓的頂點為，因此易得；（2）本小題采取解析幾何的基本解法，是等邊三角形的條件是三邊相等，或兩內角為60°，或且，我們采用且，由線段的中垂線與直線相交求得點的坐標，計算，直線與橢圓相交求得點坐標，計算，利用求得值，由于涉及到的垂線．因此對按和分類討論．

試題解析：(1)因為橢圓:的四個頂點恰好是一邊長為2，

一內角為的菱形的四個頂點, 所以,

橢圓的方程為

(2)設,則

（i）當直線的斜率為0時，的垂直平分線就是軸，軸與直線的交點為,

又，

所以是等邊三角形,所以滿足條件；

(ii)當直線的斜率存在且不為0時，設的方程為

所以，化簡得解得

所以

又的中垂線為，它的交點記為

由解得

則

因為為等邊三角形， 所以應有

代入得到，解得（舍），

綜上可知，或