Question

已知函數f(x)=

3x-1

3x+1

．
（1）證明f（x）為奇函數；
（2）判斷f（x）的單調性，并用定義加以證明．

Answer 1

分析：（1）直接檢驗f（-x）與f（x）的關系即可進行判斷
（2）先設x₁＜x₂，然后利用作差法比較f（x₁）與f（x₂）的大小即可

解答：解：（1）證明：函數的定義域為R
∵f（-x）=

3-x-1

3-x+1

=

1-3x

1+3x

=-f（x）
∴f（x）為奇函數
（2）在定義域上是單調增函數；
設x₁＜x₂
∵f(x)=

3x-1

3x+1

=1-

2

3x+1

，
∴f（x₁）-f（x₂）=

2

3x2+1

-

2

3x1+1

=

2(3x1-3x2)

(1+3x1)(1+3x2)

∵x₁＜x₂
∴0＜3x1＜3x2
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）單調遞增

點評：本題主要考查了 函數的奇偶性及函數的單調性的簡單應用，解題的關鍵是熟練掌握基本定義