Question

已知數列的首項，．

（1）求證：數列為等比數列；

(2) 記，若，求最大的正整數．

（3）是否存在互不相等的正整數，使成等差數列且成等比數列，如果存在，請給出證明；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵，∴，…………………………………1分

且∵，∴， …………………………………………2分

∴數列為等比數列． …………………………………………………………3分

（2）由（1）可求得，∴．…………………………4分

，……6分

若，則，∴．………………………………………8分

（3）假設存在，則， ……………………………9分

∵，∴．………………………10分

化簡得：，……………………………………………………………11分

∵，當且僅當時等號成立．………………………12分

又互不相等，∴不存在． ……………………………………………………13分