Question

【題目】已知公比為正數的等比數列{an}（n∈N*），首項a1=3，前n項和為Sn ， 且S3+a3、S5+a5、S4+a4成等差數列．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設bn= ．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意公比為正數的等比數列{an}（n∈N*），首項a1=3，

設an=3qn﹣1，

因為S3+a3、S5+a5、S4+a4成等差數列，

所以2（S5+a5）=S3+a3+S4+a4，

即2（a1+a2+a3+a4+2a5）=（a1+a2+2a3+（a1+a2+a3+2a4），

化簡得4a5=a3，

從而4q2=1，解得q=± ，

因為{an}（n∈N*）公比為正數，

所以q= ，an=6×（ ）n，n∈N*；

（2）解：bn= =n（ ）n，

則Tn=1（ ）+2（ ）2+3（ ）3++（n﹣1）（ ）n﹣1+n（ ）n，

Tn=1（ ）2+2（ ）3+3（ ）4++（n﹣1）（ ）n+n（ ）n+1，

兩式相減可得 Tn= +（ ）2+（ ）3+（ ）4++（ ）n﹣n（ ）n+1

= ﹣n（ ）n+1，

化簡可得Tn=2﹣（n+2）（ ）n．

【解析】（1）設公比為q＞0，由等比數列的通項公式和等差數列中項的性質，解方程可得q，即可得到所求通項公式；（2）求得bn= =n（ ）n，運用數列的求和方法：錯位相減法，結合等比數列的求和公式，化簡整理即可得到所求和．
【考點精析】掌握數列的前n項和和數列的通項公式是解答本題的根本，需要知道數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．