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【題目】已知點，點為動點，以為直徑的圓內切于.

（1）證明為定值，并求點的軌跡的方程；

（2）過點的直線與交于兩點，直線過點且與垂直，與交于兩點，為的中點，求的面積的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由已知及橢圓的定義可得到點的軌跡方程；（2）設直線的方程，聯立直線方程與橢圓方程，化為關于的一元二次方程，由根與系數關系表達三角形的底和高代入三角形的面積公式利用函數求最值.

（1）設以為直徑的圓的圓心為，半徑為，則，

由

所以，為定值，

由

所以，點的軌跡為以，為焦點的橢圓；

則，，

所以，點的軌跡方程為：；

（2）設

由，消去得，

易得，△．

為的中點，，

設，，，，

又到的距離

所以，

設，則

所以，

記，在，上遞增，（1），

所以，的最大值為，即，的面積的最大值為．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為抗擊新型冠狀病毒，普及防護知識，某校開展了“疫情防護”網絡知識競賽活動.現從參加該活動的學生中隨機抽取了100名學生，將他們的比賽成績（滿分為100分）分為6組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求的值，并估計這100名學生的平均成績（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）；

（2）在抽取的100名學生中，規定：比賽成績不低于80分為“優秀”，比賽成績低于80分為“非優秀”.請將下面的2×2列聯表補充完整，并判斷是否有99%的把握認為“比賽成績是否優秀與性別有關”？

優秀

非優秀

合計

男生

40

女生

50

合計

100

參考公式及數據：.

0.05

0.01

0.005

0.001

3.841

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓E：（）過點，其心率等于.

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）若A，B分別是橢圓E的左，右頂點，動點M滿足，且橢圓E于點P.

①求證：為定值：

②設與以為直徑的圓的另一交點為Q，求證：直線經過定點.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知是直角梯形，且，平面平面，， ， ，是的中點.

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）若，求的單調區間；

（2）若，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】中國在歐洲的某孔子學院為了讓更多的人了解中國傳統文化，在當地舉辦了一場由當地人參加的中國傳統文化知識大賽，為了了解參加本次大賽參賽人員的成績情況，從參賽的人員中隨機抽取名人員的成績（滿分100分）作為樣本，將所得數據進行分析整理后畫出頻率分布直方圖如下圖所示，已知抽取的人員中成績在[50,60)內的頻數為3.

（1）求的值和估計參賽人員的平均成績（保留小數點后兩位有效數字）；

（2）已知抽取的名參賽人員中，成績在[80,90)和[90,100]女士人數都為2人，現從成績在[80,90)和[90,100]的抽取的人員中各隨機抽取1人，求這兩人恰好都為女士的概率.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線，過焦點的斜率存在的直線與拋物線交于，，且．

（1）求拋物線的方程；

（2）已知與拋物線交于點（異于原點），過點作斜率小于的直線交拋物線于，兩點（點在，之間），過點作軸的平行線，交于，交于B，與的面積分別為，，求的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設函數.

（1）若函數在區間（為自然對數的底數）上有唯一的零點，求實數的取值范圍；

（2）若在（為自然對數的底數）上存在一點，使得成立，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設盒子中裝有6個紅球，4個白球，2個黑球，且規定：取出一個紅球得分，取出一個白球得分，取出一個黑球得分，其中，，都為正整數．

（1）當，，時，從該盒子中依次任取（有放回，且每球取到的機會均等）2個球，記隨機變量為取出此2球所得分數之和，求的分布列；

（2）當時，從該盒子中任�。壳蛉〉降臋C會均等）1個球，記隨機變量為取出此球所得分數，若，，求和．

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