Question

設函數（其中），，已知它們在處有相同的切線.
（1）求函數，的解析式；
（2）求函數在上的最小值；
（3）判斷函數零點個數.

Answer 1

（1）.
（2）；
（3）函數只有一個零點.

試題分析：(1) 應用導數的幾何意義，確定切點處的導函數值，得切線斜率，建立的方程組.
(2) 應用導數研究函數的最值，基本步驟明確，本題中由于中的不確定性，應該對其取值的不同情況加以討論.
當時，在單調遞減，單調遞增，
得到.
當時，在單調遞增，得到；
即 .
（3）由題意
求導得，
由,確定的單調區間：上單調遞增，在上單調遞減
根據，
得到函數只有一個零點.           13分，即得所求.
試題解析：(1) ，                       1分
由題意，兩函數在處有相同的切線.
，
.                         3分
(2) ，由得，由得，
在單調遞增，在單調遞減.               4分

當時，在單調遞減，單調遞增，
∴.                                      5分
當時，在單調遞增，
；
                  6分
（3）由題意
求導得，         8分
由得或，由得 
所以在上單調遞增，在上單調遞減    10分
           11分
                       12分
故函數只有一個零點.                      13分