Question

【題目】如圖，已知四棱錐的底面為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD的中點．

（1）證明：PE⊥BC；

（2）若∠APB＝∠ADB＝60°，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】（1）證明：以H為原點，HA，HB，HP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖，設，，，則A（1,0,0），B（0,1,0），

C（－m, 0, 0），P（0, 0，n），D（0，－m, 0），E（，，0），可得＝（，，－n），＝（－m，－1, 0）．

因為·＝+＋0＝0，所以PE⊥BC．

（2）由已知條件可得m＝，n＝1，故C（－，0, 0），D（0，－，0），

E（，－，0），P（0, 0, 1），則，，

設＝（x，y，z）為平面PEH的法向量，

則即因此可以取＝（1，，0），

又＝（1, 0，－1），所以|cos〈，〉|＝，

所以直線PA與平面PEH所成角的正弦值為．