Question

已知函數。
（1）若函數是上的增函數，求實數的取值范圍；
（2）當時，若不等式在區間上恒成立，求實數的取值范圍；
（3）對于函數若存在區間，使時，函數的值域也是，則稱是上的閉函數。若函數是某區間上的閉函數，試探求應滿足的條件。

Answer 1

（1）（2）（3）

（1）當時，
設且，由是上的增函數，則      2分
                    3分
由，知，所以，即      5分
（2）當時，在上恒成立，即      6分
因為，當即時取等號，                      8分
，所以在上的最小值為。則        10分
（3）因為的定義域是，設是區間上的閉函數，則且        11分
①若
當時，是上的增函數，則，
所以方程在上有兩不等實根，
即在上有兩不等實根，所以
，即且                            13分
當時，在上遞減，則，即
，所以                                   14分
②若
當時，是上的減函數，所以，即
，所以                                     15分