Question

【題目】共享單車是指企業在校園、地鐵站點、公交站點、居民區、商業區、公共服務區等提供自行車單車共享服務，是共享經濟的一種新形態．一個共享單車企業在某個城市就“一天中一輛單車的平均成本（單位：元）與租用單車的數量（單位：千輛）之間的關系”進行調查研究，在調查過程中進行了統計，得出相關數據見下表：

租用單車數量x（千輛）	2	3	4	5	8
每天一輛車平均成本y（元）	3.2	2.4	2	1.9	1.7

根據以上數據，研究人員分別借助甲、乙兩種不同的回歸模型，得到兩個回歸方程，方程甲： （1）= +1.1，方程乙： （2）= +1.6．
（1）為了評價兩種模型的擬合效果，完成以下任務：
①完成下表（計算結果精確到0.1）（備注： =yi﹣ ， 稱為相應于點（xi ， yi）的殘差（也叫隨機誤差）；

租用單車數量x（千輛）		2	3	4	5	8
每天一輛車平均成本y（元）		3.2	2.4	2	1.9	1.7
模型甲	估計值 （1）		2.4	2.1		1.6
	殘差 （1）		0	﹣0.1		0.1
模型乙	估計值 （2）		2.3	2	1.9
	殘差 （2）		0.1	0	0

②分別計算模型甲與模型乙的殘差平方和Q1及Q2 ， 并通過比較Q1 ， Q2的大小，判斷哪個模型擬合效果更好．
（2）這個公司在該城市投放共享單車后，受到廣大市民的熱烈歡迎，共享單車常常供不應求，于是該公司研究是否增加投放．根據市場調查，這個城市投放8千輛時，該公司平均一輛單車一天能收入10元，6元收入的概率分別為0.6，0.4；投放1萬輛時，該公司平均一輛單車一天能收入10元，6元的概率分別為0.4，0.6．問該公司應該投放8千輛還是1萬輛能獲得更多利潤？（按（1）中擬合效果較好的模型計算一天中一輛單車的平均成本，利潤=收入﹣成本）．

Answer 1

【答案】
（1）解：（1）①經計算，可得下表（計算結果精確到0.1）；

租用單車數量x（千輛）		2	3	4	5	8
每天一輛車平均成本y（元）		3.2	2.4	2	1.9	1.7
模型甲	估計值 （1）	3.1	2.4	2.1	1.9	1.6
	殘差 （1）；	0.1	0	﹣0.1	0	0.1
模型乙	估計值 （2）	3.2	2.3	2	1.9	1.7
	殘差 （2）	0	0.1	0	0	0

②計算模型甲的殘差平方Q1=0.12+（﹣0.1）2+0.12=0.03，

模型乙的殘差平方Q2=0.12=0.01；

∴Q1＞Q2，故模型乙的擬合效果更好；

（2）若該城市投放共享單車為8千輛時，則該公司獲得每輛車一天的收入期望為：

10×0.6+6×0.4=8.4（元），

所以該公司一天獲得的總利潤為（8.4﹣1.7）×8000=53600（元）；

若投放共享單車為1萬輛時，則每輛車的成本為 +1.6=1.664（元），

每輛車一天的收入期望為10×0.4+6×0.6=7.6（元），

所以該公司一天獲得的總利潤為（7.6﹣1.664）×10000=59360（元）；

由59360＞53600，∴投放1萬輛能獲得更多利潤，應該增加到投放1萬輛．

【解析】（1）①通過題意進行計算填寫表中的數據，②計算模型甲、乙的殘差平方，不難得出模型乙的擬合效果更好，（2）分別計算投放8千輛和1萬輛時，公司一天獲得的總利潤，可知道投放1萬輛獲得更多的利潤.