Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD， ，四邊形ACFE為矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF=1．

（1）求證：EF⊥平面BCF；
（2）點M在線段EF（含端點）上運動，當點M在什么位置時，平面MAB與平面FCB所成銳二面角最大，并求此時二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=CD=BC=1，

又∵ ，∴AB=2，∴AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos60°=3．…∴AB2=AC2+BC2．∴BC⊥AC．…

∵CF⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥CF，… 而CF∩BC=C，∴AC⊥平面BCF．…

∵EF∥AC，∴EF⊥平面BCF．…

（2）由（1）可建立分別以直線CA，CB，CF為x軸，y軸，z軸的如圖所示建立空間直角坐標系，

令FM=λ（ ），則C（0，0，0），A（ ，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1），…

∴ =（﹣ ，1，0）， =（λ，﹣1，1），

設 為平面MAB的一個法向量，

由 得 取x=1，則 =（1， ， ），…

∵ =（1，0，0）是平面FCB的一個法向量，

∴ = ．

∵ ，∴當λ=0時，cosθ有最小值 ，…

∴點M與點F重合時，平面MAB與平面FCB所成二面角最大，此時二面角的余弦值為 ．

【解析】1、由題意可得AB=2，∴AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos60°=3．∴AB2=AC2+BC2．∴BC⊥AC．根據線面垂直的判定定理可得EF⊥平面BCF2；
2、建立空間直角坐標系由向量可得c o s θ==,∵ ，∴當λ=0時，cosθ有最小值 ,點M與點F重合時，平面MAB與平面FCB所成二面角最大，此時二面角的余弦值為 ．