Question

【題目】已知函數f（x）=2asinωxcosωx+2 cos2ωx﹣ （a＞0，ω＞0）的最大值為2，且最小正周期為π． （I）求函數f（x）的解析式及其對稱軸方程；
（II）若f（α）= ，求sin（4α+ ）的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）=2asinωxcosωx+2 cos2ωx﹣ =asin2ωx+ cos2ωx= sin（2ωx+φ） ∵f（x）的最小正周期為T=π
∴ ，ω=1，
∵f（x）的最大值為2，
∴ =2，
即a=±1，
∵a＞0，∴a=1．
即f（x）=2sin（2x+ ）．
由2x+ = +kπ，
即x= + ，（k∈Z）．
（Ⅱ）由f（α）= ，得2sin（2α+ ）= ，
即sin（2α+ ）= ，
則sin（4α+ ）=sin[2（2α+ ） ]=﹣cos2（2α+ ）=﹣1+2sin2（2α+ ）=﹣1+2×（ ）2=﹣
【解析】（Ⅰ）根據條件函數最值和周期，利用三角函數的公式進行化簡即可求a和ω的值，即可求出函數的解析式和對稱軸方程；（Ⅱ）根據f（a）= ，利用余弦函數的倍角公式進行化簡即可求sin（4α+ ）的值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解兩角和與差的正弦公式的相關知識，掌握兩角和與差的正弦公式：．