Question

已知函數在處取到極值
（Ⅰ）當c=e時，方程恰有三個實根，求實數k的取值范圍；
（Ⅱ）若函數y=f（x）的圖象上存在兩點A，B使得（O為坐標原點），且線段AB的中點在y軸上，求實數c的取值范圍．

Answer 1

解：（I）當x＜1時，f′（x）=-3x²+2ax+b．
由極值點的必要條件可知是方程f′（x）=0的兩根，
則0+=，0×=-，解得a=1，b=0．
∴當c=e時，…4分．
當x≥1時，f′（x）=＞0，此時函數在[1，+∞）上是增函數，如圖，又當x=時，f（x）取得極大值，
由圖象知當k∈（0，）時，函數y=k與y=f（x）有3個不同的交點，
即方程有3個實根．
故實數k的取值范圍為（0，）…8分．
（II）由（I）知，f（x）=，
根據條件得A，B的橫坐標互為相反數，不妨設A（-t，-t³+t²），B（t，f（t）），（t＞0）．
若t＜1，則f（t）=-t³+t²，
由，即-t²+（-t³+t²）（-t³+t²）=0，
即-1+（-t+1）²=0．此時t=0或2，不合，舍去；
若t≥1，則f（t）=c（e^t-1-1）．
由于AB的中點在y軸上，且∠AOB是直角，所以B點不可能在x軸上，即t≠1．
同理由，即-t²+（-t³+t²）•c（e^t-1-1）=0，
∴c=…12分．
由于函數g（t）=（t＞1）的值域是（-∞，0），
∴實數c的取值范圍是（-∞，0）…14分．
分析：（I）當x＜1時，先對函數f（x）進行求導，由題意知是方程f'（x）=0的兩實根，由韋達定理可求出a，b的值．將方程轉化為函數y=k與y=f（x），將方程根的問題轉化為函數圖象交點問題解決．
（II）根據分段函數，分類討論，利用，結合函數思想即可求實數c的取值范圍．
點評：本題主要考查函數的單調性、極值點與其導函數之間的關系，以及研究方程根的個數問題，此類問題首選的方法是圖象法即構造函數利用函數圖象解題，其次是直接求出所有的根．