Question

【題目】如圖，拋物線的焦點為，拋物線上兩點，在拋物線的準線上的射影分別為.

（1）如圖，若點在線段上，過作的平行線與拋物線準線交于，證明：是的中點；

（2）如圖，若的面積是的面積的兩倍，求中點的軌跡方程.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】

(1) 設直線,與拋物線方程聯立可得，∴.

于是，直線，設直線與交于點，令.

易得

（2）設與軸的焦點分別為，則，∵的面積是的面積的兩倍，∴，所以點. 可設直線，與拋物線方程聯立可得∴，從而可得

,即所求軌跡方程.

（1）由題，，準線.

設直線，，.

聯立，∴.

于是，直線，

設直線與交于點，令.

得：

.

故直線經過的中點.

（2）設與軸的焦點分別為，

則，

∵的面積是的面積的兩倍，

∴，所以點.

可設直線，，中點，

，

∴.

于是，

,

即中點的軌跡方程為.