Question

在△ABC中，如果點A在BC邊上的射影是D，△ABC的三邊BC、AC、AB的長依次是a、b、c，則a=b•cosC+c•cosb，類比這一結論，推廣到空間：在四面體P-ABC中，△ABC、△PAB、△PBC、△PCA的面積依次為S、S₁、S₂、S₃，二面角P-AB-C、P-BC-A、P-CA-B的度數依次為α、β、γ，則S=    ．

Answer 1

【答案】分析：這是一個類比推理的題，在由平面圖形到空間圖形的類比推理中，一般是由點的性質類比推理到線的性質，由線的性質類比推理到面的性質，由已知在平面幾何中，若△ABC中，如果點A在BC邊上的射影是D，△ABC的三邊BC、AC、AB的長依次是a、b、c，則a=b•cosC+c•cosb，我們可以類比這一性質，推理出若四面體P-ABC中，△ABC、△PAB、△PBC、△PCA的面積依次為S、S₁、S₂、S₃，二面角P-AB-C、P-BC-A、P-CA-B的度數依次為α、β、γ，則S=S₁cosα+S₂cosβ+S₃cosγ．
解答：解：由已知在平面幾何中，
在△ABC中，如果點A在BC邊上的射影是D，△ABC的三邊BC、AC、AB的長依次是a、b、c，則a=b•cosC+c•cosb，
我們可以類比這一性質，推理出：
若四面體P-ABC中，△ABC、△PAB、△PBC、△PCA的面積依次為S、S₁、S₂、S₃，
二面角P-AB-C、P-BC-A、P-CA-B的度數依次為α、β、γ，則S=S₁cosα+S₂cosβ+S₃cosγ．
故答案為：S₁cosα+S₂cosβ+S₃cosγ．
點評：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．