Question

已知函數，其中為常數，為自然對數的底數.
（1）求的單調區間；
（2）若，且在區間上的最大值為，求的值；
（3）當時，試證明：.

Answer 1

（1）單調增區間為，單調減區間為；（2）；（3）證明過程詳見解析.

試題分析：本題主要考查導數的運算，利用導數研究函數的單調性、最值、不等式等基礎知識，考查函數思想、分類討論思想，考查綜合分析和解決問題的能力.第一問，討論的正負來求單調性，利用導數大于0或小于0，通過解不等式來求函數的單調性；第二問，討論方程的根與已知區間的關系，先判斷函數的單調性，再求最值，列出方程解出的值；第三問，證明“”兩邊的兩個函數的最值，來證明大小關系.
試題解析：（1）                 1分
當時，恒成立，故的單調增區間為      3分
當時，令解得，令解得，故的單調增區間為，的單調減區間為             5分
（2）由（I）知，
①當，即時，在上單調遞增，∴舍；   7分
②當，即時，在上遞增，在上遞減，
，令，得       9分
（Ⅲ）即要證明，                     10分
由（Ⅰ）知當時，，∴，        11分
又令，，                  12分
故在上單調遞增，在上單調遞減，             13分
故                         14分
即證明.