Question

【題目】已知直線：與拋物線切于點，直線：過定點Q，且拋物線上的點到點Q的距離與其到準線距離之和的最小值為.

（1）求拋物線的方程及點的坐標；

（2）設直線與拋物線交于(異于點P)兩個不同的點A、B，直線PA，PB的斜率分別為，那么是否存在實數，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），（1，2）；（2）存在，

【解析】

（1）由直線恒過點點及拋物線C上的點到點Q的距離與到準線的距離之和的最小值為，求出拋物線的方程，再由直線與拋物線相切，即可求得切點的坐標；

（2）直線與拋物線方程聯立，利用根與系數的關系，求得直線PA，PB的斜率，求出斜率之和為定值，即存在實數使得斜率之和為定值.

（1）由題意，直線變為2x+1-m(2y+1)=0，所以定點Q的坐標為

拋物線的焦點坐標，

由拋物線C上的點到點Q的距離與到其焦點F的距離之和的最小值為，

可得，解得或（舍去），

故拋物線C的方程為

又由消去y得，

因為直線與拋物線C相切，所以，解得，

此時，所以點P坐標為（1，2）

（2）設存在滿足條件的實數，點，

聯立，消去x得，

則，

依題意，可得，解得m<-1或，

由（1）知P（1，2），

可得，

同理可得，

所以

=，

故存在實數=滿足條件.