Question

【題目】為美化城市環境，相關部門需對一半圓形中心廣場進行改造出新，為保障市民安全，施工隊對廣場進行圍擋施工．如圖，圍擋經過直徑的兩端點A，B及圓周上兩點C，D圍成一個多邊形ABPQR，其中AR，RQ，QP，PB分別與半圓相切于點A，D，C，B．已知該半圓半徑OA長30米，∠COD為60°，設∠BOC為．

（1）求圍擋內部四邊形OCQD的面積；

（2）為減少對市民出行的影響，圍擋部分面積要盡可能小．求該圍擋內部多邊形ABPQR面積的最小值？并寫出此時的值．

Answer 1

【答案】（1）（2）圍擋內部多邊形ABPQR面積的最小值為900平方米，此時

【解析】

（1）連接將四邊形變為兩個全等的直角三角形，求得的長度后可計算得面積.（2）根據（1）的方法，求得多邊形的面積，求得總面積的表達式，利用換元法以及基本不等式求得多邊形面積的最小值以及此時的值.

解：

（1）連接OQ，因為QD，QC為圓O的切線，所以QD＝QC，OD＝OC＝30，

OQ＝OQ，所以△ODQ≌△OCQ，所以∠DOQ＝∠COQ＝30°，

又因為OD⊥DQ，所以＝tan30°＝，所以DQ＝10，

所以S△ODQ＝OD·DQ＝150，所以SOCQD=2S△ODQ =300；

即圍擋內部四邊形OCQD的面積為300平方米；

（2）BP=OB tan，SOBPC=2S△OBP=900 tan，同理SOARD=2S△OAR=900 tan(－)，

SABPQR=900[tan+ tan(－)]＋300，

即求 tan+ tan(－)的最小值，

tan+ tan(－)= tan+=（*）

令，由得x(1，4)

則（*）=≥，當且僅當x=2時取等號，此時，

故Smin=900×+300=900，

答：圍擋內部多邊形ABPQR面積的最小值為900平方米，此時