Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣ax（a＞0），設 ．
（1）判斷函數h（x）=f（x）﹣g（x）零點的個數，并給出證明；
（2）首項為m的數列{an}滿足：①an+1+an≠ ；②f（an+1）=g（an）．其中0＜m＜ ．求證：對于任意的i，j∈N* ， 均有ai﹣aj＜ ﹣m．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數h（x）=f（x）﹣g（x）在 上有且僅有一個零點．

證明如下：函數f（x）=lnx﹣ax的定義域為（0，+∞），

由 ，可得函數g（x）的定義域為（﹣∞， ），

∴函數h（x）=f（x）﹣g（x）的定義域為（0， ）．

h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣ax﹣ln（ ）+2﹣ax．

h′（x）= ，

當且僅當 時等號成立，因此h（x）在 上單調遞增，又 ，

故函數h（x）=f（x）﹣g（x）在 上有且僅有一個零點；

（2）證明：由（1）可知h（x）在 上單調遞增，且 ，

故當 時，h（x）＜0，即f（x）＜g（x）；

當 時，h（x）＞0，即f（x）＞g（x）．

∵ ，∴f（a1）＜g（a1）=f（a2），

若 ，則由 ，且f（x）在 上單調遞減，

知 ，即 ，這與 矛盾，故 ，

而當 時，f（x）單調遞增，故 ；

同理可證 ，…， ，

故數列{an}為單調遞增數列且所有項均小于 ，

因此對于任意的i，j∈N*，均有 ．

【解析】（1）由已知求出函數函數h（x）=f（x）﹣g（x）的定義域為（0， ）．利用導數判斷函數在定義域上是單調函數，再由 可得函數h（x）=f（x）﹣g（x）在 上有且僅有一個零點；（2）由（1）可知h（x）在 上單調遞增，且 ，故當 時，h（x）＜0，即f（x）＜g（x）；當 時，h（x）＞0，即f（x）＞g（x）．由a1=m及m的范圍可得f（a1）＜g（a1）=f（a2），然后判斷得 ，結合 時，f（x）單調遞增得 ；同理可證 ，…， ，則有數列{an}為單調遞增數列且所有項均小于 ，從而證得對于任意的i，j∈N*，均有 ．