Question

已知函數.
（Ⅰ）若，求的極值；
（Ⅱ）若在定義域內無極值，求實數的取值范圍.

Answer 1

(Ⅰ) ，；(Ⅱ) .

解析試題分析：(Ⅰ)先寫出時的函數解析式以及定義域：，對函數求導并且求得函數的零點，結合導數的正負判斷函數在零點所分的各個區間上的單調性，從而得到函數的極值點，求得極值點對應的函數值即可；(Ⅱ)先求出函數的導數，將問題“在定義域內無極值”轉化為“或在定義域上恒成立”，那么設分兩種情況進行討論，分別為方程無解時，以及方程有解時保證，即成立，解不等式及不等式組，求兩種情況下解的并集.
試題解析：（Ⅰ）已知，∴，     1分
 ，            2分
令，解得或.             3分
當時，；
當時，.                    4分
，                    5分
∴取得極小值2，極大值.        6分
（Ⅱ），
，      7分
在定義域內無極值，即或在定義域上恒成立.     9分
設，根據圖象可得：
或，解得.           11分
∴實數的取值范圍為.              12分
考點：1.函數的單調性與導數的關系；2.利用導數研究函數的極值；3.解不等式；4.二次函數的圖像與性質；5.不等式恒成立問題