Question

【題目】已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別為F1(－1，0)，F2(1，0)，且橢圓C經過點P.

(1)求橢圓C的離心率；

(2)設過點A(0，2)的直線l與橢圓C交于M，N兩點，點Q是線段MN上的點，且＝＋，求點Q的軌跡方程．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

解：(1)由橢圓定義知，

2a＝|PF1|＋|PF2|

＝

＋＝2，

所以a＝.

又由已知，得c ＝1，

所以橢圓C的離心率e＝＝＝.

(2)由(1)知，橢圓C的方程為＋y2＝1.

設點Q的坐標為(x，y)．

①當直線l與x軸垂直時，直線l與橢圓C交于(0，1)，(0，－1)兩點，此時點Q的坐標為.

②當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y＝kx＋2.

因為M，N在直線l上，可設點M，N的坐標分別為(x1，kx1＋2)，(x2，kx2＋2)，則|AM|2＝(1＋k2)x，|AN|2＝(1＋k2)x.

又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)x2.

由＝＋，得

＝＋，

即＝＋＝.①

將y＝kx＋2代入＋y2＝1中，得

(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.②

由Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6>0，

得k2>.

由②可知，x1＋x2＝，x1x2＝，

代入①中并化簡，得x2＝.③

因為點Q在直線y＝kx＋2上，所以k＝，代入③中并化簡，

得10(y－2)2－3x2＝18.

由③及k2>，可知0<x2<，

即x∈∪.

又點滿足10(y－2)2－3x2＝18，故x∈.

由題意知Q(x，y)在橢圓C內，

所以－1≤y≤1.

又由10(y－2)2＝18＋3x2有

(y－2)2∈，且－1≤y≤1，

則y∈.

所以點Q的軌跡方程為10(y－2)2－3x2＝18，

其中x∈，y∈.