Question

【題目】已知等差數列的前項和為，且成等比數列，且.

（1）求數列的通項公式；

（2）求數列的前項和；

（3）若，為數列的前項和.若對于任意的，都有恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）設等差數列的公差為，利用等差數列的通項公式以及前項和的公式求出，代入通項公式即可.

（2）判斷出數列從第六項為負，分類討論：當時或當時，利用等差數列前項和公式即可求解.

（3）利用裂項求和法求出數列的前項和，恒成立，轉化為，利用單調性求出的最大值即可.

（1）令等差數列的公差為.

由于成等比數列，所以，

又，所以，所以.

（2）記數列的前項和為，令，得，

當時，，

當時，

所以

（3）由于，

所以，

由于對于任意的，都有恒成立，所以，

當時，單調遞增，所以當時，，

當時，，所以

所以，所以的取值范圍為.