Question

【題目】已知函數，函數g（x）=-2x+3．

（1）當a=2時，求f（x）的極值；

（2）討論函數的單調性；

（3）若-2≤a≤-1，對任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤t|g（x1）-g（x2）|恒成立，求實數t的最小值．

Answer 1

【答案】（1）f（x）極大值=f（1）=0，無極小值

（2）當a≤0時，F（x）在（0，+∞）單調遞增；當a＞0時，F（x）在單調遞增，在單調遞減

（3）．

【解析】

（1）當a=2時，利用導數求得函數 的單調區間，進而得到極值．

（2）求得，分a≤0和a＞0，兩種情況討論，即可得出函數的單調區間；

（3）把不等式轉化為f（x2）-f（x1）≤t[g（x1）-g（x2）]，得到f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）對任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立，令，得到h（x）在[1，2]遞減，求得 對任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立，進而轉化變量只需要研究，即可求得t的取值范圍.

（1）由題意，當a=2時，函數f（x）=lnx-x2+x，

則．

易知f（x）在（0，1）遞增，（1，+∞）遞減，

所以函數f（x）極大值為，無極小值．

（2）由函數，

則．

①a≤0時，＞0，恒成立，∴F（x）在（0，+∞）單調遞增；

②當a＞0，由＞0得，＜0得，

所以F（x）在單調遞增，在單調遞減．

綜上：當a≤0時，F（x）在（0，+∞）單調遞增；

當a＞0時，F（x）在單調遞增，在單調遞減．

（3）由題知t≥0，．

當-2≤a≤-1時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）單調遞增，不妨設1≤x1≤x2≤2，

又g（x）單調遞減，∴不等式等價于f（x2）-f（x1）≤t[g（x1）-g（x2）]．

即f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）對任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立，

記，則h（x）在[1，2]遞減．

對任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立．

令．

則在[1，2]上恒成立，

則，

而在[1，2]單調遞增，∴，所以．