Question

【題目】已知函數，，.

（1）當時，若對任意均有成立，求實數k的取值范圍；

（2）設直線與曲線和曲線均相切，切點分別為，，其中.

①求證：；

②當時，關于x的不等式恒成立，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見解析；②.

【解析】

（1）對任意均有成立，等價于，所以只要使和，對恒成立，所以構造函數求最小值大于等于零，求其最大值，即可求出k的取值范圍；

（2）①由題可知，為曲線和曲線的公切線，則兩切點處導數相等，且與連線斜率也相等，再結合，即可證明；

②恒成立等價于，在恒成立，所以構造函數求得其最大值為，而，代換后可求出a的取值范圍.

（1）當時，，

由，知：，

①令，對恒成立，

,，，

當，，成立，

當，，，，，

∴，不成立，

∴.

②設，∴，

當時，；

當時，，

∴，∴.

故：實數k的取值范圍是.

（2）由已知：，，

①由得：，

由得：，

故，

∵，∴，∴，

故：.

②，在恒成立.

設，，

∴在為減函數，

∴，，

∵，

∴，∴.