Question

【題目】定義在D上的函數f（x）如果滿足：對任意x∈D，存在常數M≥0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數，其中M稱為函數f（x）的一個上界．已知函數，．

（1）求函數f（x）在區間上的所有上界構成的集合；

（2）若函數g（x）在[0，+∞）上是以7為上界的有界函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）[3，+∞）, （2）[﹣9，5]

【解析】

（1）首先求出函數在區間的單調性，再根據單調性即可求出函數的值域，從而求出函數在區間上的所有上界構成的集合.

（2）將問題轉化為在上恒成立，通過換元法求出相應的最值即可求出的取值范圍.

（1），

由復合函數的單調性法則易知，函數在上單調遞減，

∴函數在區間上單調遞減，

∴函數在區間上的值域為，

∴，

∴函數在區間上的所有上界構成的集合為.

（2）由題意知，在上恒成立，即，

則，

∴在上恒成立，

設， ，.

易知，在上為增函數，故，

由知，當時，，為減函數，

故，

綜上，實數的取值范圍為.