Question

【題目】已知點的坐標分別為，直線相交于點，且它們的斜率之積是，點的軌跡為曲線.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）過點作直線交曲線于兩點，交軸于點，若， ，證明： 為定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）設出動點坐標為，把斜率之積用坐標表示出來化簡可得的方程（注意有些點不合要求）；

（Ⅱ）解析幾何中的定值問題，設點的坐標分別為.由，可求得，并代入曲線的方程，得的方程，同理得的方程，這樣發現是方程的兩個實數根，由韋達定理可得．

試題解析：

（Ⅰ）設點，由已知得，

化簡得點的軌跡的方程: .

（Ⅱ）設點的坐標分別為.

由，所以，

所以

因為點在曲線上，所以 ，

化簡得 ①，

同理，由可得： ，

代入曲線的方程得 ②，

由①②得是方程的兩個實數根(△>0)，

所以.