Question

【題目】如圖，在三棱錐與三棱錐中，和都是邊長為2的等邊三角形，分別為的中點，，．

（Ⅰ）試在平面內作一條直線，當時，均有平面（作出直線并證明）；

（Ⅱ）求兩棱錐體積之和的最大值.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】分析：(Ⅰ)即過H點作一平面與平面ABC平行，與平面EFC的交線為直線。H為中點，所以取的中點為，的中點為，連，則即為所作直線.

（Ⅱ）把兩個三棱錐的體積和轉化為兩個四棱錐的體積和，

即，求梯形EFBD的面積最大值。

詳解：（Ⅰ）設的中點為，的中點為，連，則即為所作直線.

因為分別為的中點，所以，

又平面，平面，所以平面，

因為分別為的中點，所以，

因為，所以

又平面，平面，所以平面，

因為，平面，所以平面平面，

由知平面，所以平面.

（Ⅱ）因，所以與確定一個平面.

連，因，為的中點，

所以，同理；

又，所以平面

所以

其中，，為梯形的高，，

當平面平面時，，

所以 .