Question

【題目】已知函數，且曲線在處的切線與平行.

（1）求的值；

（2）當時，試探究函數的零點個數，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析: （1）根據曲線在處的切線與平行可得: ,進而求出a值; （2）①當時， ，函數在單調遞增，根據零點存在性定理可得: 在上只有一個零點.②當時， 恒成立，構造函數，求導判斷單調性與最值可得，

又時， ，所以，即，故函數在上沒有零點，③當時， ，

所以函數在上單調遞減，根據零點存在性定理可得:函數在上有且只有一個零點，綜上所述時，函數有兩個零點.

試題解析:解：（1）依題意，故，

故，解得.

（2）①當時， ，此時， ，

函數在單調遞增，

故函數在至多有一個零點，又，

而且函數在上是連續不斷的，因此函數在上只有一個零點.

②當時， 恒成立，證明如下：

設，則，所以在上單調遞增，

所以時， ，所以，

又時， ，所以，即，

故函數在上沒有零點，

③當時， ，

所以函數在上單調遞減，故函數在至多有一個零點，

又，而且函數在上是連續不斷的，

因此，函數在上有且只有一個零點，

綜上所述時，函數有兩個零點.