Question

（本小題滿分12分）
已知函數（e為自然對數的底數）．
（Ⅰ）當時，求函數的單調區間；
（Ⅱ）若對于任意，不等式恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

(1)函數的單調遞增區間是；單調遞減區間是
（2) ．

試題分析：解：（Ⅰ）當時，，．
由，解得；，解得．
∴函數的單調遞增區間是；單調遞減區間是． ……………… 5分
（Ⅱ）依題意：對于任意，不等式恒成立，
即即在上恒成立．
令，∴．
當時，；當時，．
∴函數在上單調遞增；在上單調遞減．
所以函數在處取得極大值，即為在上的最大值．
∴實數t的取值范圍是．                         …………………… 12分
點評：根據導數的符號來確定函數單調性，以及結合單調性求解最值，進而得到不等式的恒成立的證明。