Question

設f(x)＝，其中a為正實數．

①當a＝時，求f(x)的極值點；②若f(x)為R上的單調函數，求a的取值范圍．

 

Answer 1

①x＝是極大值點，x＝是極小值點②(0,1]

【解析】f′(x)＝

①當a＝時，f′(x)＝.由f′(x)＝0得x＝或x＝.

當x<時，f′(x)>0；當<x<時，f′(x)<0；當x>時，f′(x)>0.

∴f(x)在上是增函數，上是減函數，上是增函數．

∴x＝是極大值點，x＝是極小值點．

②若f(x)為R上的單調函數，則f′(x)在R上不變號．由于a>0，又ex>0，(1＋ax2)2>0.∴ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立．即Δ＝4a2－4a≤0.

∴0<a≤1.所以a的范圍為(0,1]．