Question

【題目】若正整數數列，滿足：對任意，，都有恒成立，則稱數列，為“友好數列”.

（1）已知數列，的通項公式分別為，，求證：數列，為“友好數列”；

（2）已知數列，為“友好數列”，且，求證：“數列是等差數列” 是“數列是等比數列”的充分不必要條件.

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解.

【解析】

（1）根據錯位相減法，結合等差數列和等比數列的通項公式進行求解即可；

（2）根據充分不必要條件的定義，結合友好數列的定義進行證明即可.

（1）因為數列，的通項公式分別為，，

所以有，

令

所以有，得：

所以，

而，因此有對任意，，都有

恒成立，所以數列，為“友好數列”；

（2）因為數列，為“友好數列”，所以對任意，，都有

恒成立，

因此有，得：

，

若數列是等差數列，則有，已知數列是正整數數列，因此有

，因此數列是等比數列；

若數列是等比數列，設公比為，則有，顯然只有當時，數列是等差數列，因此由數列是等差數列能推出數列是等比數列，但由數列是等比數列不一定能推出數列是等差數列，因此“數列是等差數列”是“數列是等比數列”的充分不必要條件.