Question

【題目】如圖，在四棱錐中，等邊三角形所在的平面垂直于底面，， ，是棱的中點．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）判斷直線與平面的是否平行，并說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析 (Ⅱ) （Ⅲ）直線與平面不平行

【解析】

（Ⅰ）根據面面垂直的性質定理直接證得結果；（Ⅱ）建立空間直角坐標系，求解出平面和平面的法向量，然后求出法向量夾角的余弦值，由二面角為銳二面角，可得到所求二面角的余弦值；（Ⅲ）求解平面的法向量，可知與法向量不垂直，由此得到結論為不平行.

（Ⅰ）證明：平面平面，平面平面，平面且

平面

（Ⅱ）取的中點，連結，

又 四邊形是平行四邊形

平面

建立如圖所示空間直角坐標系

則，，，，

，

設為平面的一個法向量，由

得令，得，，所以

因為軸垂直于平面，所以取平面的一個法向量

所以二面角的余弦值為

（Ⅲ）直線與平面不平行

理由如下：，

設為平面的一個法向量，由

得令，得，所以

所以與不垂直，又因為平面

所以直線與平面不平行