Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若，，且存在不相等的實數，，使得，求證：且.

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)見證明

【解析】

（1）求得函數的導數，分類討論，即可求解函數的單調區間；

（2）由存在不相等的實數，，使得矛盾，得到，再由，轉化為證明，轉化為證明，利用換元法和導數，求得函數的單調性與最值，即可求解.

（1）由題意，函數，可得，

當時，因為，所以，所以，

故函數在上單調遞增；

當時，，，所以，

故函數在單調遞增；當時，，

解得或，，

解得，

所以函數在區間上單調遞減，

在區間和區間上單調遞增.

綜上所述，當時，函數在上單調遞增，

當時，函數在區間上單調遞減，

在區間和區間上單調遞增.

（2）由題知，則.

當時，，所以在上單調遞增，

與存在不相等的實數，，使得矛盾，所以.

由，得，

所以，不妨設，

因為，所以，

欲證，只需證，

只需證，

令，，等價于證明，即證，

令，，

所以在區間上單調遞減，所以，

從而得證，于是.